David, cameras compactas normalmente não são apropriadas para este tipo de foto. Presumo que o que deva estar ocorrendo é que vc está usando a camera no automático e como o ambiente tem pouca luz a camera aumenta o tempo de exposição para permitir uma fotometria correta. Com um tempo mais longo, qualquer mexida na camera deixa a imagem borrada. Como disse o Ivan, talvez alguma coisa possa ser feita se vc se dedicar a entender todo o processo e consiga usar a camera no modo manual. Outra solução é um tripé, que acho que não é viável pelas locações que vc citou (igrejas, museus).
De qualquer forma, a HX1, como a maioria das cameras do segmento dela, não é boa para este tipo de fotografia com pouca luz, com o agravante que a Sony normalmente aplica uma redução de ruído muito forte na conversão para JPG, quase inviabilizando o uso de ISO´s mais altos.
Sem sair deste segmento, as melhores teoricamente são a Canon G11, Canon S10 e Panasonic LX3 (se tiver alguma outra por favor me corrijam), mas estas nao são super-zooms. Melhor que isso, só partindo para uma DSLR.